cho tam giác ABC vuông tại A. AH vuông góc vs BC tại H. Hm vuông góc vs AB tại M. HN vuông góc vs AC tại N.
a)AM.AB=AN.AC
b)HB.HC=MA.MB+NA.NC
c)HB/HC=(AB/AC)^2
a) AM.AB = AN.AC
△AHB vuông tại H, đường cao HM, △AHC vuông tại H, đường cao HN
⇒AM.AB = AN.AC = AH^2 (hệ thức về cạnh và đường cao...)
b) HB.HC = MA.MB + NA.NC
- Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH
suy ra HB.HC = AH^2 (hệ thức về cạnh và đường cao...)
mà tứ giác AMHN là hcn, suy ra AH(^2) = MN(^2)
- △AHB vuông tại H, đường cao HM, △AHC vuông tại H, đường cao HN
suy ra MA.MB + NA.NC = HM(^2) + (HN^2)= (MN^2)
từ đó suy ra điều phải c/m
c) (HB/HC)=((AB/AC))(^2)
((AB/AC))(^2)=((AB^2)/AC(^2)) = (BH.BC/CH.BC)=(HB/HC)
Cho \(\Delta ABC\) vuông tại A,đường cao AH. Kẻ HM\(\perp\)AB(M\(\in\)AB); HN\(\perp\)AC(N\(\in\)AC).Chứng minh rằng :
a) AM.AB=AN=AC
b)HB.HC=MA.MB+NA.NC
c)\((\frac{AB}{AC})^2\)=\(\frac{HB}{HC}\)
a) Ta có tứ giác MHNA là hình chữ nhật
\(\Rightarrow\widehat{AMN}=\widehat{AHN}\) ( góc nội tiếp cùng chắn cung AN)
mà \(\widehat{AHN}=\widehat{ACH}\) ( cùng phụ với \(\widehat{HAN}\) )
\(\Rightarrow\widehat{AMN}=\widehat{ACH}\)
Xét \(\Delta AMN\) và \(\Delta ACB\) có:
\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{AMN}=\widehat{ACH}\left(cmt\right)\\\widehat{MAN}chung\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\Delta AMN\sim\Delta ACB\left(g.g\right)\)
\(\Rightarrow\frac{AM}{AC}=\frac{AN}{AB}\Rightarrow AM.AB=AN.AC\left(đpcm\right)\)
b) Xét \(\Delta AHB\) vuông tại H, \(MH\perp AB\) có:
\(MH^2=MA.MB\left(1\right)\)
cmtt: \(NH^2=NA.NC\left(2\right)\)
Ta lại có: \(HB.HC=AH^2=MN^2\)( 2 đường chéo bằng nhau) (3)
Xét \(\Delta MHN\) vuông tại H có
\(\Rightarrow MH^2+HN^2=MN^2=AH^2\left(4\right)\)
Từ (1),(2),(3) và (4) \(\Rightarrow HB.HC=MA.MB+NA.NC\left(đpcm\right)\)
c) Có \(HB=\frac{AC^2}{BC}\)
\(HC=\frac{AC^2}{BC}\)
\(\Rightarrow\frac{BH}{HC}=\frac{AB^2}{BC}:\frac{AC^2}{BC}=\frac{AB^2}{AC^2}=\left(\frac{AB}{AC}\right)^2\)
\(\Delta ABC\) vuông tại A, đường cao AH. Kẻ \(HM\perp AB\) , \(HN\perp AC\) . CMR:
a ) \(AM.AB=AN.AC\)
b ) \(\frac{HB}{HC}=\left(\frac{AB}{AC}\right)^2\)
c. \(HB.HC=MA.MB+NA.NC\)
a/ Có tứ giác MHNA là hcn\(\Rightarrow\widehat{AMN}=\widehat{AHN}\) (góc nt cùng chắn \(\stackrel\frown{AN}\))
Mà \(\widehat{AHN}=\widehat{ACH}\) (cùng phụ vs \(\widehat{HAN}\))
\(\Rightarrow\widehat{AMN}=\widehat{ACH}\)
Xét \(\Delta AMN\) và \(\Delta ACB\) có:
\(\widehat{AMN}=\widehat{ACH}\left(CMT\right)\)
\(\widehat{MAN}\) : góc chung
\(\Rightarrow\Delta AMN\sim\Delta ACB\left(gg\right)\)
\(\Rightarrow\frac{AM}{AC}=\frac{AN}{AB}\Leftrightarrow AM.AB=AN.AC\)
b/ Có \(HB=\frac{AB^2}{BC}\)
\(HC=\frac{AC^2}{BC}\)
\(\Rightarrow\frac{HB}{HC}=\frac{\frac{AB^2}{BC}}{\frac{AC^2}{BC}}=\frac{AB^2}{AC^2}=\left(\frac{AB}{AC}\right)^2\)
c/ Xét \(\Delta AHB\) vuông tại H,\(MH\perp AB\)
\(\Rightarrow MA.MB=MH^2\)(1)
tương tự\(\Rightarrow NA.NC=HN^2\) (2)
\(HB.HC=AH^2=MN^2\) (2 đường chéo bằng nhau)(3)
Xét \(\Delta MHN\) vuông tại H
\(\Rightarrow MH^2+HN^2=MN^2=AH^2\)(4)
Từ (1),(2),(3),(4)\(\Rightarrow HB.HC=MA.MB+NA.NC\)
Cho ΔABC cân tại A. Kẻ AH ⊥ BC ( H∈ BC)
a) Chứng mnh HB = HC
b) Kẻ HM⊥AB(M∈AB), HN⊥AC(N∈AC). Chứng minh ΔAMH = ΔANH
c) Tính diện tích ΔABC biết AB = 10cm, AH = 8cm
d) So sánh ABC và AMN, từ đó chứng minh MN song song với BC
a) Xét △ABC,ta có :△ABC cân tại A nên
AB=AC, ∠ABC = ∠ACB( t/c tam giác cân)
Vì AH⊥BC nên ∠AHB = ∠AHC
# Xét △AHB vs △AHC, ta có :
∠AHB=∠AHC(=90o)
AB=AC
∠ABC = ∠ACB
⇒△AHB = △AHC(ch-gn)
⇒HB=HC( 2 cạnh tương ứng )
b)Vì △AHB = △AHC(cmt) nên ∠HAB = ∠HAC(2 góc tương ứng)
Vì HM ⊥ AB nên ∠HMA =90o
Vì HN ⊥ AC nên ∠HMB =90o
#Xét △AHM vs △AHN, ta có:
∠AHM =∠AHN(=90o)
AH là cạnh chung
∠MAH=∠NAH(cmt)
⇒△AHM = △AHN (ch-gn)
c) Lúc nữa. 
\(cho\Delta abc\) vuông tại A đường cao AH vẽ HK\(\perp\)AB(K\(\in\)AB) câu a cm: AB.AK=HB.HC câu b cm: \(\dfrac{AB^2}{AC^2}=\dfrac{HB}{HC}\) câu c vẽ HE\(\perp\)AC. CM: \(\dfrac{BH}{CE}=\dfrac{AB^3}{AC^3}\) câu d giả sử AB<AC. Lấy M\(\in\)HC; HM=HA. Qua M vẽ 1 đường thẳng \(\perp\) BC cắt AC tại F. CM: \(\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AF^2}+\dfrac{1}{AC^2}\)
Cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH. Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên AB và AC. CMR:
a) AM.AB = AN.AC
b) HB.HC = MA.MB + NA.NC
c) \(\dfrac{HB}{HC}=\left(\dfrac{AB}{AC}\right)^2\)
a: Xét ΔAHB vuông tại H cso HM là đường cao
nên \(AM\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)
Xét ΔACH vuông tại H có HN là đường cao
nên \(AN\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(AM\cdot AB=AN\cdot AC\)
c: \(\left(\dfrac{AB}{AC}\right)^2=\dfrac{AB^2}{AC^2}=\dfrac{HB\cdot BC}{HC\cdot BC}=\dfrac{HB}{HC}\)
b: \(MA\cdot MB+NA\cdot NC\)
\(=MH^2+NH^2=AH^2\)
CHO \(\Delta ABC\), ĐƯỜNG CAO AH(\(H\in BC\)). TỪ H KẺ \(HM\perp AB\left(M\in AB\right);HN\perp AC\left(N\in AC\right)\). CHỨNG MINH: AM . AB = AN . AC
Xét ΔAHB vuông tại H có HM là đường cao
nên \(AM\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)
Xét ΔAHC vuông tại H có HN là đường cao
nên \(AN\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(AM\cdot AB=AN\cdot AC\)
\(\Delta ABC\), góc A= \(^{90^0}\), AH\(\perp\)BC
a) AB=12cm, BC=20cm. Tính AC, AH, góc B
b)Kẻ HM\(\perp\)AB, HN\(\perp\)AC. CMR: AN.AC=\(AC^2-HC^2\)
c)CM: AH=MN và AM.MB+AN.NC=\(AH^2\)
b: Xét ΔAHC vuông tại H có
\(AC^2=AH^2+HC^2\)
hay \(AH^2=AC^2-HC^2\left(1\right)\)
Xét ΔAHC vuông tại H có HN là đường cao ứng với cạnh huyền AC
nên \(AN\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(AC^2-HC^2=AN\cdot AC\)
Cho▲ABC có 3 góc nhọn ( AB < AC) nội tiếp đường tròn (O;R). Vẽ AH vuông góc với BC. Từ H, kẻ HM ⊥ AB và HN ⊥ AC (H ∈ BC, M ∈ AB, N ∈ AC). Vẽ đường kính AE cắt MN tại I, tia MN cắt (O;R) tại K.
Chứng minh:
a) Tứ giác AMHN nội tiếp
b) AM.AB=AN.AC
c) AE ⊥ MN
Lời giải:
a)
\(HM\perp AB; HN\perp AC\Rightarrow \widehat{HMA}=\widehat{HNA}=90^0\)
Xét tứ giác $AMHN$ có tổng 2 góc đối \(\widehat{HMA}+\widehat{HNA}=90^0+90^0=180^0\) nên $AMHN$ là tứ giác nội tiếp (đpcm)
b)
Vì $AMHN$ nội tiếp \(\Rightarrow \widehat{AMN}=\widehat{AHN}\)
Mà \(\widehat{AHN}=\widehat{ACB}(=90^0-\widehat{NHC})\)
\(\Rightarrow \widehat{AMN}=\widehat{ACB}\)
Xét tam giác $AMN$ và $ACB$ có:
\(\left\{\begin{matrix} \widehat{A}-\text{chung}\\ \widehat{AMN}=\widehat{ACB}(cmt)\end{matrix}\right.\Rightarrow \triangle AMN\sim \triangle ACB(g.g)\)
\(\Rightarrow \frac{AM}{AC}=\frac{AN}{AB}\Rightarrow AM.AB=AC.AN\) (đpcm)
c)
Ta có: \(\widehat{ACB}=\widehat{AEB}\) (góc nội tiếp chắn cung $AB$)
\(\widehat{ACB}=\widehat{AMN}\) (cmt)
\(\Rightarrow \widehat{AEB}=\widehat{AMN}\)
\(\Leftrightarrow \widehat{IEB}=180^0-\widehat{BMI}\)
\(\Leftrightarrow \widehat{IEB}+\widehat{BMI}=180^0\), do đó tứ giác $BMIE$ nội tiếp
\(\Rightarrow \widehat{MIE}=180^0-\widehat{MBE}=180^0-90^0=90^0\) (\(\widehat{MBE}=\widehat{ABE}=90^0\) vì là góc nt chắn nửa đường tròn)
\(\Rightarrow MN\perp AE\) . Ta có đpcm.
